Cinemática De Los Solidos

Concepto de sólido rígido

Entendemos por sólido rígido un sistema físico en el que la distancia entre dos puntos materiales cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo es la partícula o punto material.

Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 1. Indicaremos por r_i y r_j los vectores de posición de dos puntos, P_i y P_j, del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por

(1) $\left\vert \mathbf r_i -\mathbf r_j \right\vert^2 \equiv(\mathbf r_i-\mathbf r_j)\cdot(\mathbf r_i-\mathbf r_j) =\mbox{cte.}$

que es equivalente a

\left\vert \mathbf r_i -\mathbf r_j \right\vert=\mbox{cte.}

, ya que la raíz cuadrada de una constante es otra constante.

La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos, no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura 1. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o coordenadas; de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [1]; esto es, tres ecuaciones

Condición cinemática de rigidez

Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos o partículas materiales que lo constituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.

Para cada pareja de puntos pertenecientes al sólido rígido, la (P_i,P_j) por ejemplo, podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [1.1], que derivada con respecto al tiempo nos conduce a

$\frac{d}{dt} \left[(\mathbf r_i-\mathbf r_j)^2\right]= 2(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)\cdot\left(\frac{d\mathbf r_i}{dt}-\frac{d\mathbf r_j}{dt}\right)=0$

que también podemos escribir en la forma

$\mathbf r_{ij} \cdot \mathbf v_{ij}=0$

donde r_ij y v_ij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula P_i con respecto a la P_j. La ec. [2] expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo:todo vector con sus extremos fijos en el sólido rígido (ya que el r_ij es válido para cualquier par de puntos constituyentes del sólido) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a v_ij).

La ec. [2] puede escribirse en la forma

$\mathbf r_{ij} \cdot \mathbf v_i=\mathbf r_{ij} \cdot \mathbf v_j$

o también

$\frac{\mathbf r_{ij}}{r_{ij}} \cdot \mathbf v_i= \frac{\mathbf r_{ij}}{r_{ij}} \cdot \mathbf v_j$

ecuación que expresa la igualdad entre las proyecciones de las velocidades de los puntos P_i y P_j sobre la recta que los une.

Movimiento de Rotación

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido.

El movimiento de un sólido rígido puede ser:

* De traslación.

* De rotación.

* Un movimiento combinado de rotación y traslación, lo designaremos como movimiento general.

De traslación.Un sólido rígido efectúa una traslación, cuando el segmento que une dos cualesquiera de sus partículas.
La traslación es rectilínea, si las trayectorias seguidas por las partículas del sólido rígido en su movimiento son líneas rectas
La traslación es curvilínea, cuando las trayectorias seguidas por las partículas del sólido rígido son líneas curvas.

Ejemplo:

1.Una bola esférica de radio 10 cm, se desplaza por una superficie horizontal, con una velocidad de traslación de 2 m/s. y con una velocidad angular de 5 rad/s, fig.17. Determínese: a) La bola rueda o desliza. b) El valor que debería tomar la velocidad angular, para que la bola comience a rodar.
a) Se comprobará, si se verifica o no, que v R C − ω • = 0 2 5 01 15 0 m s rad s m m s − =≠ •, , ; La bola desliza b) Despejando ω de la primera condición de rodadura: ω= = = v R ms m rad s C 2 0 1 20 , Cuando gire con esta velocidad angular, entonces en lugar de deslizamiento ya hay rodadura.

2. Una partícula se mueve con rapidez v0 constante, sobre un riel circular de radio R colocado en posición horizontal sobre una superficie también horizontal. La partícula se encuentra atada mediante una cuerda inextensible a un bloque que cuelga debajo de un agujero localizado a una distancia R/2 del centro del riel. Suponga que vo es suficientemente pequeño para que la cuerda no se destense.

(a) Determine la rapidez del bloque en función del ángulo θ.

(b) Obtenga la rapidez máxima del bloque.

Respuesta: (a) v(θ) = √ sen θ 5+4 cos θ vo; (b) ~vmax = + − vo 2 ˆk; (c) ~a(θ = 0) = − v 2 o 3R ˆk;

En resumen:

Cuando un sólido rígido rueda, se cumple en todo instante, que la velocidad del punto en contacto con el suelo es nula y su aceleración es solo normal. Además, se verifican las dos condiciones cinemáticas de la rodadura. De no cumplirse estas condiciones, no se puede hablar de rodadura, y el movimiento de la rueda es una combinación de traslación y rotación, que en general se llama deslizamiento.

Bibliografia

Mecánica Racional – Maurer & Roark
Mecánica Racional. Merian.
Mecánica Rotacional – Mourer & Reark – Edición 5
Mecánica Vectorial para Ingenieros. Beer Johnston.
Mecanismos. Dougthie-James
Revista Investigación y Ciencia – Jean Michael &